4. Procent, vækst, opsparing og afbetaling

Formler med procent:

(1)   \begin{equation*}D=\frac { H }{ 100 } \cdot P\end{equation*}

  • D = delen
  • H = Helheden
  • P = Procentsatsen

Formel 19 kan omskrives til:

(2)   \begin{equation*}H=\frac { D }{ P } \cdot 100\end{equation*}

og

(3)   \begin{equation*}P=\frac { D }{ H } \cdot 100\end{equation*}

Stigning beregnes som:

(4)   \begin{equation*}a\rightarrow b\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad Stigning\left[ \% \right] =\frac { \left( b-a \right) }{ a } \cdot 100\end{equation*}

Fald beregnes som:

(5)   \begin{equation*}a\rightarrow b\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad Fald\left[ \% \right] =\frac { \left( a-b \right) }{ a } \cdot 100\end{equation*}

Beregning af vækstprocenter ud fra tabeller

  1. Følgende formel skal bruges hvis stigningen (eller faldet) beregnes over hele perioden!

Stigning beregnes som:

(6)   \begin{equation*}Stigning\left[ \% \right] =\frac { \left( b-a \right) }{ a } \cdot 100\end{equation*}

Fald beregnes som:

(7)   \begin{equation*}Fald\left[ \% \right] =\frac { \left( a-b \right) }{ a } \cdot 100\end{equation*}

  1. Denne formel bruges hvis der er spurgt efter den gennemsnitlige stigning.

(8)   \begin{equation*}K\rightarrow K_{ n }\quad \quad \quad \quad \quad \quad x=\left( \sqrt [ n ]{ \frac { { K }_{ n } }{ K } } -1 \right) \cdot 100\end{equation*}

Kapitalfremskrivning     

K       Startkapital

 

x        Rentefod

Kn      Kapital

n        terminer

(9)   \begin{equation*}K_{ n }=K\cdot { \left( 1+x \right) }^{ n }\end{equation*}

(10)   \begin{equation*}K=\frac { K_{ n } }{ { \left( 1+x \right) }^{ n } }\end{equation*}

(11)   \begin{equation*}x=\left( \sqrt [ n ]{ \frac { { K }_{ n } }{ K } } -1 \right) \cdot 100\end{equation*}

(12)   \begin{equation*}n=\frac { \log { \left( \frac { { K }_{ n } }{ K } \right) } }{ \log { \left( 1+x \right) } }\end{equation*}

Annuitetsopsparing     

y     Terminsindbetaling

 

x        Rentefod

n        Antal terminsindbetalinger

A       Kapital efter sidste indbetaling

(13)   \begin{equation*}A=y\cdot\frac{\left(1+x\right)^{n}-1}{x}\end{equation*}

(14)   \begin{equation*}y=\frac{A\cdot x}{\left(1+x\right)^{n}-1}\end{equation*}

 

(15)   \begin{equation*}n=\frac{\log \left(\frac{\left(A\cdot x\right)}{y}+1\right)}{\log \left(1+x\right)} \end{equation*}

 

 

Annuitetslån     

G       Hovedstol

 

x        Rentefod

n        Antal ydelser

y        Terminsydelse

(16)   \begin{equation*}G=y\cdot \frac{1-\left(1+x\right)^{-n}}{x}\end{equation*}

(17)   \begin{equation*}y=\frac{G\cdot x}{1- \left(1+x\right)^{-n}}\end{equation*}

 

(18)   \begin{equation*}n=-\frac{\log \left(1-\frac{G\cdot x}{y}\right)}{\log \left(1+x\right)}\end{equation*}

(19)   \begin{equation*}A=y\cdot\frac{\left(1+x\right)^{n}-1}{x}\end{equation*}

Opsparingsformlen CAS

Når man arbejder med annuitetsopsparing har man 4 variable:

  1. Slutbeløb, A
  2. Indbetaling, y
  3. Terminsrente, x
  4. Antal indbetalinger (terminer), n

Hvis man kender de 3 kan man regne den sidste. Vi kan omskrive opsparingsformlen så vi kan finde :

    • Indbetaling, y

(20)   \begin{equation*}y=\frac{A\cdot x}{\left(1+x\right)^{n}-1}\end{equation*}

    • Antal indbetalinger (terminer), n

(21)   \begin{equation*}n=\frac{\log \left(\frac{\left(A\cdot x\right)}{y}+1\right)}{\log \left(1+x\right)}\end{equation*}

Udfordringen er at vi ikke kan finde terminsrenten direkte.

Vi skal lave en nummerisk løsning, og her kommer anvendelsen af CAS-værktøjer i spil.

De følgende 2 videoer indeholder hver især 4 eksempler på hvordan man finder de forskellige variable i annuitetsopsparingsformlen i hhv. GeoGebra og WordMat.

Opsparingsformlen GeoGebra

Opsparingsformlen WordMat