Indskrivelige firkanter

En firkant er indskrivelig (= har en omskreven cirkel) hvis og kun hvis summen af de modstående vinkler er 180°.

 

Bevis:

Vinkelsummen (centervinklerne) i den omskrevne cirkel er 360°.

De modstående vinklers cirkelbuer (i en firkant) spænder tilsammen over hele cirklen.

Da vi tidligere har bevist at centervinklen er dobbelt så stor som periferivinklen, skal summen af 2 modstående vinkler i en firkant give 180°.

Areal af indskrivelige firkanter

Arealet A af en indskrivelig firkant kan beregnes vha. en videreudvikling af Herons formel:

(1)   \begin{equation*} F=\sqrt { (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) } \end{equation*}

hvor:

(2)   \begin{equation*} s=\frac { (a+b+c+d) }{ 2 } \end{equation*}

Ptolomæos’ Sætning

For indskrivelige firkanter gælder Ptolomæos’ sætning:

Summen af de modstående siders produkt er lig med diagonalernes produkt ved indskrevne firkanter.

Udtrykt som formel:

(3)   \begin{equation*} |AB||DC|+|BC||AD|=|AC||BD| \end{equation*}

Prøv at trække i hjørnerne på nedenstående indskrevne firkant.

Omskrivelige firkanter

En firkant er omskrivelig (= har en indskreven cirkel) hvis og kun hvis summen af et par af modstående sider er lig med summen af ”det andet par”.
Det kan formuleres:

(4)   \begin{equation*} |AB|+|DC|=|BC|+|AD| \end{equation*}

Firkanter der både er omskrivelige og indskrivelige

Om en firkant, der både er indskrivelig og omskrivelig, gælder

en særlig smuk formel for arealet F

(5)   \begin{equation*} F=\sqrt { a\cdot b\cdot c\cdot d } \end{equation*}